vote expérimental

LE JUGEMENT MAJORITAIRE

Michel Balinski et Rida Laraki

For a description in English, see below

Cette page concerne la documentation théorique et expérimentale d'un nouveau mode de scrutin : "le jugement majoritaire".

Le jugement majoritaire vient d'être testé pour la première fois au premier tour des élections présidentielles le 22 avril 2007 dans trois bureaux de vote de la ville d'Orsay (Essonne). Nous présentons ici quelques résultats. Pour une étude plus détaillée des résultats, veuillez consulter la revue "Commentaire" Volume 30, Numéro 118 (été 2007) pp. 413-420.

Ce mode de scrutin est issu d'une nouvelle théorie du vote qui trouve ses origines dans les idées de Pierre-Simon, marquis de Laplace, et de Sir Francis Galton. Elle démontre que le jugement majoritaire est la seule méthode qui répond à tout un ensemble de critères qui ont été développés depuis plusieurs siècles dans le domaine de " la théorie du choix social ". Elle évite le célèbre paradoxe de Condorcet et sa généralisation au théorème " d'impossibilité " de Kenneth Arrow en envisageant le problème du vote différemment. Au lieu d'imaginer qu'un électeur a dans sa tête une liste des candidats dans l'ordre de ses " préférences ", il est supposé qu'il peut évaluer chaque candidat.

Pour un résumé de la théorie voir :
Michel Balinski et Rida Laraki, "A theory of measuring, electing and ranking," Proceeding of the National Academy of Sciences USA, May 22, 2007, vol. 104, no. 21, pp. 8720-8725.

Pour une étude détaillée de l'expérience :
Michel Balinski et Rida Laraki, "Election by Majority Judgement: Experimental Evidence." Cahier du Laboratoire d'Econométrie de l'Ecole Polytechnique, December 2007, n° 2007-28

Un ouvrage, One-Value, One-Vote: Measuring, Electing and Ranking, est à paraître.

L'expérience d'Orsay

Le jugement majoritaire pose à l'électeur la question :

"Pour présider la France, ayant pris tous les éléments en compte, je juge en conscience que ce candidat serait"

et lui demande une réponse pour chaque candidat dans un langage commun à tous les Français :

Très Bien, Bien, Assez Bien, Passable, Insuffisant, ou A Rejeter.

Ainsi, l'électeur émet une opinion sur chacun des candidats. L'ensemble des mentions d'un candidat détermine sa mention-majoritaire (décrite ci-dessous). Le candidat avec la meilleure mention-majoritaire est élu. Un tour d'élection suffit.

Chaque électeur d'Orsay a été invité à remplir le bulletin de vote suivant.

Description
L'expérimentation du jugement majoritaire s'est déroulée dans trois des douze bureaux de vote d'Orsay, considérés comme représentatifs de cette ville (les bureaux 1, 6 et 12) mais pas représentatifs de la France entière. Dans ces trois bureaux de vote le résultat officiel au premier tour du système actuel fut :

---	Royal	Sarkozy	Bayrou	LePen	Besancenot	Villiers	Voynet	Buffet	Bové	Laguiller	Nihous	Schivardi
Les trois bureaux d'Orsay	29.9%	29.0%	25.5%	5.9%	2.5%	1.9%	1.7%	1.4%	0.9%	0.8%	0.3%	0.2%
France entière	25.9%	31.2%	18.6%	10.4%	4.1%	2.2%	1.6%	1.9%	1.3%	1.3%	1.2%	0.3%

En sortant, après leur vote réel, les électeurs des trois bureaux de vote étaient invités à participer à l'expérience utilisant le jugement majoritaire. Ils avaient été informés de l'expérience par courrier, imprimé et affiche avec la coopération de la mairie. L'expérience a été réalisée dans les conditions habituelles : les bulletins étaient remplis et insérés dans des enveloppes dans des isoloirs, puis déposés dans des urnes transparentes. Contrairement aux prévisions de plusieurs élus et intellectuels, les électeurs n'ont eu aucune difficulté à s'exprimer : pour la plupart, une minute leur suffisait. Les files d'attentes pour le jugement majoritaire n'étaient pas plus longues que celles du scrutin officiel. Cela dit, les participants ne signaient aucun registre et ne déclinaient pas leur identité.

1752 des 2360 personnes ayant voté en réel ont participé à cette expérience, c'est-à-dire 74%. 19 des bulletins ont été jugés invalides, laissant 1733 suffrages exprimés.

Les membres de l'équipe et Raphaël Hitier, un journaliste d'itélé qui préparait un reportage sur l'expérience, ont tous eu la même impression : les participants étaient contents d'avoir la possibilité d'exprimer leur opinion concernant tous les candidats. En particulier, ils étaient très satisfaits de l'opportunité de " Rejeter " des candidats. Ainsi, par exemple, en moyenne, un électeur donnait des Très Bien à 0,7 candidats et des A Rejeter à 4,1 candidats.

---	Très Bien	Bien	Assez Bien	Passable	Insuffisant	A Rejeter	Aucune Mention
Nombre moyen de mentions par bulletin	0.7	1.3	1.5	1.7	2.3	4.1	0.5

Le résultat du dépouillement
Les résultats du jugement majoritaire dans les trois bureaux de vote sont donnés dans l'ordre des mentions-majoritaires (en conformité avec le règlement, ne donner aucune mention est comptabilisé comme A Rejeter). Ils étaient :

---	Très Bien	Bien	Assez Bien	Passable	Insuffisant	A Rejeter	Aucune Mention
Bayrou	13.6%	30.7%	25.1%	14.8%	8.4%	4.5%	2.9%
Royal	16.7%	22.7%	19.1%	16.8%	12.2%	10.8%	1.8%
Sarkozy	19.1%	19.8%	14.3%	11.5%	7.1%	26.5%	1.7%
Voynet	2.9%	9.3%	17.5%	23.7%	26.1%	16.2%	4.3%
Besancenot	4.1%	9.9%	16.3%	16.0%	22.6%	27.9%	3.2%
Buffet	2.5%	7.6%	12.5%	20.6%	26.4%	26.1%	4.3%
Bové	1.5%	6.0%	11.4%	16.0%	25.7%	35.3%	4.2%
Laguiller	2.1%	5.3%	10.2%	16.6%	25.9%	34.8%	5.3%
Nihous	0.3%	1.8%	5.3%	11.0%	26.7%	47.8%	7.2%
Villiers	2.4%	6.4%	8.7%	11.3%	15.8%	51.2%	4.3%
Schivardi	0.5%	1.0%	3.9%	9.5%	24.9%	54.6%	5.8%
Le Pen	3.0%	4.6%	6.2%	6.5%	5.4%	71.7%	2.7%

Calcul de la mention-majoritaire d'un candidat
La mention-majoritaire d'un candidat est la médiane de ses mentions. C'est la seule mention qu'une majorité des électeurs lui attribuent au moins mais aussi qu'une majorité des électeurs lui attribuent au plus. Par exemple, la mention-majoritaire de Dominique Voynet est Passable car une majorité de 53,4% = 2,9% + 9,3% + 17,5% + 23,7% des électeurs jugent qu'elle mérite au moins la mention Passable et une majorité de 70,3% = 23,7% + 26,1% + 16,2% + 4,3% des électeurs jugent qu'elle mérite au plus la mention Passable.

Calcul de l'ordre entre des candidats ayant la même mention-majoritaire
Supposons que la mention-majoritaire d'un candidat soit Assez Bien. Elle est complétée d'un plus (+) si le pourcentage des mentions meilleures que Assez Bien du candidat est plus grand que le pourcentage des mentions pires que Assez Bien du candidat ; dans le cas contraire, elle est complétée d'un moins (-).

Par exemple, la mention-majoritaire de Ségolène Royal devient " Assez Bien - " car 39,4% = 16,7% + 22,7% de ses mentions sont meilleures que Assez Bien et 41,5% = 16,8% + 12,2% + 10,8% + 1,8% sont pires que Assez Bien.

Un candidat avec un " Assez Bien + " est classé devant un candidat avec un " Assez Bien - ", et il en va de même pour toute mention-majoritaire. De deux candidats avec un " Assez Bien + ", celui ayant le plus grand pourcentage des mentions meilleures que Assez Bien est classé devant l'autre ; et de deux candidats avec un " Assez Bien - ", celui ayant le plus grand pourcentage des mentions pires que Assez Bien est classé derrière l'autre ; et, à nouveau, idem pour toutes les mentions-majoritaires. Par exemple, Ségolène Royal et Nicolas Sarkozy ont tous les deux la mention-majoritaire " Assez Bien - ", Royal a 41,5% de mentions pires que Assez Bien et Sarkozy 46,9% de mentions pires que Assez Bien, donc Royal est classée devant Sarkozy.

Le jugement majoritaire des candidats
Le jugement majoritaire classe les douze candidats selon les voix des participants des trois bureaux de vote d'Orsay comme suit :

---	Plus que la mention majoritaire	Mention majoritaire	Moins que la mention majoritaire
1 Bayrou	44.3%	Assez Bien +	30.6%
2 Royal	39.4%	Assez Bien -	41.5%
3 Sarkozy	38.9%	Assez Bien -	46.9%
4 Voynet	29.8%	Passable -	46.6%
5 Besancenot	46.3%	Insuffisant +	31.2%
6 Buffet	43.2%	Insuffisant +	30.5%
7 Bové	34.9%	Insuffisant -	39.4%
8 Laguiller	34.2%	Insuffisant -	40.0%
9 Nihous	45.0%	A Rejeter	---
10 Villiers	44.5%	A Rejeter	---
11 Schivardi	39.7%	A Rejeter	---
12 Le Pen	25.7%	A Rejeter	---

François Bayrou, avec une mention-majoritaire d'"Assez Bien + ", précède les deux autres " grands " candidats, Ségolène Royal et Nicolas Sarkozy, tous les deux avec la mention-majoritaire " Assez Bien - ". Le jugement majoritaire utilise les évaluations de tous les électeurs, sur tous les candidats. Cela explique pourquoi Bayrou (troisième au premier tour avec le système actuel) dépasse tous les autres ; et aussi pourquoi Jean-Marie Le Pen est classé dernier (alors qu'il termine quatrième dans le système actuel). Ses 74,4% (= 71,7% + 2,7%) de A Rejeter dominent de loin les 25,6% de ses mentions meilleures. Un autre décalage avec le système actuel est la quatrième position de Dominique Voynet : les votants ont pu exprimer l'importance qu'ils attachent aux problèmes de l'environnement tout en attribuant des mentions plus élevées à des candidats qu'ils jugeaient plus aptes à présider la France.

Validation de l'expérience
Il est possible de déduire des bulletins de vote du jugement majoritaire ce qu'aurait été le résultat des confrontations entre toutes les paires de candidats, en particulier la confrontation entre Ségolène Royal et Nicolas Sarkozy (le pourcentage des voix indifférentes entre les deux candidats est partagé à part égale entre eux.). Royal bat Sarkozy avec 52,3% des voix : les bulletins du jugement majoritaire prédisent à 1% près le résultat actuel de ces trois bureaux au second tour de l'élection le 6 mai dernier qui était : Royal 51,3%. Cela démontre que les participants se sont exprimés honnêtement, conformément à leur opinion.

Commentaires
Certains affirment que le jugement majoritaire favorise les candidats du centre, et donc - bien sûr ! - qu'il était prévisible que Bayrou serait l'élu de ce système. Ce n'est vrai ni en théorie ni en pratique. Les résultats du premier tour du bureau 12 d'Orsay s'approchent de ceux de la France entière, quand les scores de Royal et Sarkozy sont inversés :

---	Royal	Sarkozy	Bayrou	LePen	Besancenot	Villiers	Voynet	Bové	Buffet	Laguiller	Nihous	Schivardi
Bureau 12	32.0%	26.6%	20.2%	10.1%	2.7%	2.5%	2.3%	1.3%	1.2%	0.8%	0.2%	0.0%
France entière	25.9%	31.2%	18.6%	10.4%	4.1%	2.2%	1.6%	1.3%	1.9%	1.3%	1.2%	0.3%

Le jugement majoritaire du bureau 12 donne presque les mêmes résultats que les trois bureaux ensemble, à quelques exceptions près : Royal est première avec un " Assez Bien + " et Bayrou second avec la même mention-majoritaire ; Villiers est neuvième et Nihous dixième ; Besancenot obtient un " Passable - ". Pour le reste, l'ordre entre les candidats et leurs mentions-majoritaires sont identiques. Pourtant, Bayrou, autant " au centre " dans le premier cas que dans le second, n'est pas le gagnant du jugement majoritaire.

Cela démontre que Sarkozy aurait peut être été le vainqueur si le jugement majoritaire avait été utilisé partout en France.

Toutefois, si le jugement majoritaire était le mode de scrutin utilisé pour élire le président de la France (ou les députés, les maires, les conseillers généraux et municipaux, etc.), alors les campagnes électorales seraient très différentes.

Remerciements:
Nous remercions nos amis et collègues sans qui cette expérience aurait été impossible : Pierre Brochot, Stéphanie Brochot, David Chavalarias, Sophie Chemarin, Clémence Christin, Maximilien Laye, Jean-Philippe Nicolai, Matias Nuñez, Vianney Perchet, Jérôme Renault, Claudia Saavedra, Gilles Stoltz, Tristan Tomala, Marie Anne Valfort, and Guillaume Vigeral. Grâce à leur générosité et à celle de la ville d'Orsay et son maire, Mme Marie-Hélène Aubry, le coût de l'expérience a été limité à celui du papier utilisé (enveloppes, affiches et bulletins).

The Majority Judgement

Michel Balinski and Rida Laraki

This page presents elements of both the theory and the practical application of a new method of voting: "the majority judgement."

The majority judgement was tested for the first time on April 22, 2007, in the first round of the French presidential elections, in three voting precincts of Orsay, a town close to Paris.

Electors were posed the question:

To be President of France,
after having taken every consideration into account,
I judge in conscience that this candidate would be:

and asked to give an answer for every candidate in a language common to all French voters:

Très Bien, Bien, Assez Bien, Passable, Insuffisant, ou A Rejeter.

Or, roughly translated:

Excellent, Very Good, Good, Acceptable, Poor, and To Reject.

It is very important to appreciate that the precise question addressed the voters and the words used to describe their evaluations are of great significance. In France, the terms are known and understood by all those who have gone to school: they provide a common language in which evaluations may be made. Translations into English are not valid; indeed, it is almost certainly inappropriate to use the same words in Australia, Britain, Canada, Ireland, New Zeeland and the United States, even though they share the same language. The translations above are given only for the purpose of conveying the idea - and only for this purpose.
Electors express their opinions on every candidate. The set of all grades received by a candidate determines his or her majority-grade (described below). The candidate with the highest majority-grade is the winner. Only one round of voting is necessary.

This method of voting is derived from a new theory whose origins may be traced to ideas of Pierre-Simon, marquis de Laplace and of Sir Francis Galton. The theory proves that the majority judgement is the only method that meets criteria that have been conceived over several centuries in the area known as "the theory of social choice." The method avoids the famous paradox of Jean Antoine Caritat, marquis de Condorcet, and its generalization to Kenneth Arrow's "impossibility theorem," by seeing and formulating the problem of voting differently. Instead of imagining that a voter has in his or her mind's eye a list of candidates ordered by the voter's "preferences" (doubtful when, as in the recent French election, there were twelve candidates), the voter is assumed to be capable of evaluating each candidate.

A brief summary of the theory is give in:
Michel Balinski and Rida Laraki, "A theory of measuring, electing and ranking," Proceedings of the National Academy of Sciences USA, May 22, 2007, vol. 104, no. 21, pp. 8720-8725.

A complete account is given in a forthcoming book, One-Value, One-Vote: Measuring, Electing and Ranking, currently in revision.

A more detailed analysis of the results of the experiment will appear in "Commentaire" in June 2007.

The Orsay experiment

The experiment took place in three of the twelve voting precincts of Orsay, considered to be representative of Orsay (precincts 1, 6 and 12), but not representative of all of France. The official first round vote in these three precincts is compared with that of all of France in the following table:

---	Royal	Sarkozy	Bayrou	LePen	Besancenot	Villiers	Voynet	Buffet	Bové	Laguiller	Nihous	Schivardi
3 precincts Orsay	29.9%	29.0%	25.5%	5.9%	2.5%	1.9%	1.7%	1.4%	0.9%	0.8%	0.3%	0.2%
All France	25.9%	31.2%	18.6%	10.4%	4.1%	2.2%	1.6%	1.9%	1.3%	1.3%	1.2%	0.3%

After having voted officially, the electors of the three precincts were invited to participate in the experiment using the majority judgement. They had been informed it would take place by mail, printed flyers, and posters with the active participation of the Mayor's office. The experiment was carried out in accordance with usual French voting practice: ballots were filled out and inserted into envelopes in voting booths with curtains, then deposited in transparent ballot boxes. Contrary to the predictions of several elected officials and intellectuals, the voters had no difficulty in evaluating the candidates: for the most part, a minute or so sufficed. The queues for voting by majority judgement were no longer than those for the official vote; however, participants in the experiment were neither asked to sign a register nor to present identification papers.

1,752 of the 2,360 persons who cast official votes participated in the experiment, that is, 74%. 19 ballots were deemed invalid, leaving 1,733 valid ballots.

The members of the team that conducted the experiment and Raphaël Hitier, a journalist of i-télé who was preparing a filmed account of it, all had the impression that the participants had been happy to be able to express their opinions on all the candidates. In particular, they were clearly very satisfied to have the opportunity to Reject candidates. Thus, for example, on average a voter gave an Excellent to 0.7 candidates and a Reject to 4.1 candidates.

---	Excellent	Very Good	Good	Acceptable	Poor	To Reject	No Grade
Average number of grades by ballot	0.7	1.3	1.5	1.7	2.3	4.1	0.5

The results of the count
The results of the majority judgement ballots in the three voting precincts are given in the order of the majority-grades (the rules clearly stated on each ballot that assigning no grade to a candidate meant assigning a Reject). They were:

---	Excellent	Very Good	Good	Acceptable	Poor	To Reject	No Grade
Bayrou	13.6%	30.7%	25.1%	14.8%	8.4%	4.5%	2.9%
Royal	16.7%	22.7%	19.1%	16.8%	12.2%	10.8%	1.8%
Sarkozy	19.1%	19.8%	14.3%	11.5%	7.1%	26.5%	1.7%
Voynet	2.9%	9.3%	17.5%	23.7%	26.1%	16.2%	4.3%
Besancenot	4.1%	9.9%	16.3%	16.0%	22.6%	27.9%	3.2%
Buffet	2.5%	7.6%	12.5%	20.6%	26.4%	26.1%	4.3%
Bové	1.5%	6.0%	11.4%	16.0%	25.7%	35.3%	4.2%
Laguiller	2.1%	5.3%	10.2%	16.6%	25.9%	34.8%	5.3%
Nihous	0.3%	1.8%	5.3%	11.0%	26.7%	47.8%	7.2%
Villiers	2.4%	6.4%	8.7%	11.3%	15.8%	51.2%	4.3%
Schivardi	0.5%	1.0%	3.9%	9.5%	24.9%	54.6%	5.8%
Le Pen	3.0%	4.6%	6.2%	6.5%	5.4%	71.7%	2.7%

Determining the majority-grades
The majority-grade of a candidate is the median of the candidate's grades. It is at once the highest grade approved by a majority and the lowest grade approved by a majority. For example, the majority-grade of Dominique Voynet is Acceptable because a majority of 53.4% = 2.9% + 9.3% + 17.5% + 23.7% of the voters judge that she merits at least Acceptable and a majority of 70.3% = 23.7% + 26.1% + 16.2% + 4.3% of the voters judge that she merits at most Acceptable.

Determining the majority-order among the candidates
Suppose that the majority-grade of a candidate is Good. It is completed by a plus (+) if the percentage of the candidate's grades better than Good is higher than the percentage of the candidate's grades worse than Good; if the opposite is true, the grade is completed by a minus (-). For example, Ségolène Royal's majority-grade becomes "Good -" because 39.4% = 16.7% + 22.7% of her grades are better than Good and 41.5% = 16.8% + 12.2% + 10.8% + 1.8% are worse than Good.
A candidate with a "Good +" is ahead of a candidate with a "Good -." If two candidates have "Good +," the one having the higher percentage of grades better than Good is ranked ahead of the other. If two candidates have "Good -," the one having the higher percentage of grades worse than Good is ranked ahead of the other. For example, Ségolène Royal and Nicolas Sarkozy both had the majority-grade "Good -," Royal had 41.5% worse than Good and Sarkozy 46.9% worse than Good, so Royal finishes ahead of Sarkozy. And, of course, these same rules apply to all of the majority-grades.

The majority judgement results
The majority judgement ranks the twelve candidates in the three voting precincts of Orsay as follows:

---	Better than the majority grade	Majority grade	Worse than the majority grade
1 Bayrou	44.3%	Good +	30.6%
2 Royal	39.4%	Good -	41.5%
3 Sarkozy	38.9%	Good -	46.9%
4 Voynet	29.8%	Acceptable -	46.6%
5 Besancenot	46.3%	Poor +	31.2%
6 Buffet	43.2%	Poor +	30.5%
7 Bové	34.9%	Poor -	39.4%
8 Laguiller	34.2%	Poor -	40.0%
9 Nihous	45.0%	To Reject	---
10 Villiers	44.5%	To Reject	---
11 Schivardi	39.7%	To Reject	---
12 Le Pen	25.7%	To Reject	---

François Bayrou, with the majority-grade "Good +," finishes ahead of the other two "major" candidates, Ségolène Royal and Nicolas Sarkozy, each with the majority-grade "Good -." The majority judgement uses all of the voters' evaluations of all of the candidates. This explains why Bayrou (third in the first round with the actual system) finishes ahead of all the others. It also explains why Jean-Marie Le Pen finishes dead last (whereas he is fourth with the actual system): his 74.4% (= 71.7% + 2.7%) of To Reject completely overwhelms the 25.6% of the grades that are better. Another disagreement with the current system is Dominique Voynet's fourth place finish: the voters were able to express the importance they attach to environmental issues while at the same time giving higher grades to candidates they judged better prepared to be President of France.

Validation
It is possible to deduce from the ballots of the majority judgement what would be the results of head to head confrontations between every pair of candidates, in particular a race between Ségolène Royal and Nicolas Sarkozy (the percentage of those ballots that gave them the same grade is equally divided between them). According to this count, Royal beats Sarkozy with 52.3% of the votes: the majority judgement ballots predicted the actual outcome within 1% because Royal's score in these three voting precincts in the second round on May 6 was 51.3%. This shows that the participants in the experiment expressed themselves honestly, in conformity with their opinions.

Comments
Some have claimed that the majority judgement favors candidates of the "center" (i.e., on the "left-right" spectrum) and therefore that it was foreseeable that Bayrou would be elected with this system. This is not true: neither theory nor practice support the claim. The results in percentages of the first round of voting in precinct 12 of Orsay are near those of France as a whole when the scores of Royal and Sarkozy are exchanged:

---	Royal	Sarkozy	Bayrou	LePen	Besancenot	Villiers	Voynet	Bové	Buffet	Laguiller	Nihous	Schivardi
Precinct 12	32.0%	26.6%	20.2%	10.1%	2.7%	2.5%	2.3%	1.3%	1.2%	0.8%	0.2%	0.0%
All France	25.9%	31.2%	18.6%	10.4%	4.1%	2.2%	1.6%	1.3%	1.9%	1.3%	1.2%	0.3%

The majority judgement applied to precinct 12 yields almost the same results as it does for the three precincts together, with the following exceptions: Royal is first with a "Good +" and Bayrou second with the same majority-grade; Villiers is 9th and Nihous 12th; and Besancenot obtains an "Acceptable -." Otherwise, the order of finish among the candidates and their majority-grades are identical. Yet Bayrou, every bit as much in the political center in this instance as in the other, is not the winner with the majority judgement.

This proves that Sarkozy could well have been the winner in France with the majority judgement.

It must be appreciated, however, that if the majority judgement were the method used to elect the President of France (or to elect any other single candidate among several), the campaigns would be very different.

Aknowledgements
We are happy to thank the following friends and colleagues without whose help this experiment could not have been conduced: Pierre Brochot, Stéphanie Brochot, David Chavalarias, Sophie Chemarin, Clémence Christin, Maximilien Laye, Jean-Philippe Nicolai, Matias Nuñez, Vianney Perchet, Jérôme Renault, Claudia Saavedra, Gilles Stoltz, Tristan Tomala, Marie Anne Valfort, and Guillaume Vigeral. Due to them, and to the very generous help of the city of Orsay and its Mayor, Mme Marie-Hélène Aubry, the costs of the experiment were limited to that of the paper used : the envelopes, posters and ballots.

Documents liés à l'expérience d'Orsay

Bulletin de vote du "Jugement Majoritaire"

A Theory of Measuring, Electing and Ranking

Un article du même titre (bien modifié) est paru dans :
Proceedings of the National Academy of Sciences, USA May 22, 2007, vol. 104, no. 21, pp. 8720-8725.

Michel Balinski et Rida Laraki, "A theory of measuring, electing and ranking,"
Proceeding of the National Academy of Sciences USA, May 22, 2007, vol. 104, no. 21, pp. 8720-8725.

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